Question

【題目】已知函數 （a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論函數f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）解： = = ，

∴f（x）是偶函數

（3）解：∵函數f（x）在定義域上是偶函數，

∴函數y=f（2x）在定義域上也是偶函數，

∴當x∈（0，+∞）時，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，

∵當x∈（0，+∞）時，x3＞0，

∴只需 ，即 ，

∵a2x+ax+1＞0，

∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，

∴當a＞1時，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立

【解析】（1）利用ax﹣1≠0即可求得函數f（x）的定義域；（2）由 可推知f（﹣x）=f（x），從而可判斷函數f（x）的奇偶性；（3）利用（1）知f（x）為偶函數，可知當x∈（0，+∞）時，x3＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當a＞1時即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．