Question

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=log₂x
（1）求f（x）的解析式
（2）畫出函數f（x）的草圖，根據圖象寫出函數單調區間．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，利用函數是奇函數且當x＞0時，f（x）=log₂x 求得 f（x）=log₂（ 

1

-x

 ），從而求得f（x）的解析式．
（2）畫出函數f（x）的草圖，根據圖象，數形結合寫出函數單調區間．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0．由函數是奇函數且當x＞0時，f（x）=log₂x 可得
f（-x）=log₂ （-x）=-f（x），∴f（x）=-log₂ （-x）=log₂（ 

1

-x

 ）．
故f（x）=

log2x ， x＞0 log2( 1 -x ) ， x＜0

．
（2）函數f（x）的草圖如圖所示：

結合函數的圖象可得，函數的單調增區間為（0，+∞），減區間為 （-∞，0）．

點評：本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，求函數的單調區間，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．