Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點，F是側面CDD₁C₁上的動點，且B₁F∥面A₁BE，則B₁F與平面CDD₁C₁ 所成角的正切值構成的集合是（　　）

• A、2
• B、{

  2

  5

  5

  }
• C、{t|2≤t≤2

  2

  }
• D、{t|

  2

  5

  5

  ≤t≤2}

Answer 1

分析：設G，H，I分別為CD、CC₁、C₁D₁邊上的中點，根據面面平行的判定定理，可得平面A₁BGE∥平面B₁HI，結合已知中B₁F∥面A₁BE，可得F落在線段HI上，∠B₁FC₁即為B₁F與平面CDD₁C₁ 所成角，求出該角正切的最大值與最小值，即可得到答案．

解答：解：設G，H，I分別為CD、CC₁、C₁D₁邊上的中點
則ABEG四點共面，
且平面A₁BGE∥平面B₁HI
又∵B₁F∥面A₁BE，
∴F落在線段HI上，
設HI的中點為J
則當F與J重合時，B₁F與平面CDD₁C₁ 所成角的正切值有最大值2

2

當F與H或I重合時，B₁F與平面CDD₁C₁ 所成角的正切值有最小值2
故B₁F與平面CDD₁C₁ 所成角的正切值構成的集合是{t|2≤t≤2

2

}
故選C．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中分析出F落在線段HI上，是解答本題的關鍵．