Question

6．小明在數學課中學習了《解三角形》的內容后，欲測量河對岸的一個鐵塔高AB（如圖所示），他選擇與塔底B在同一水平面內的兩個測量點C和D，測得∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=30米，并在點C測得塔頂A的仰角為θ=30°．求：
（1）sin∠DBC；
（2）塔高AB（結果精確到0.01）（參考數據：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）根據和角公式計算；
（2）在△BCD中利用正弦定理計算BC，再在Rt△ABC中計算AB．

解答 解：（1）由題意可知∠DBC=180°-60°-45°=75°，
∴sin∠DBC=sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
（2）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{30}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BC=（30$\sqrt{3}$-30）米．
在Rt△ABC中，∵tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=30-10$\sqrt{3}$≈12.7米．

點評 本題考查了正弦定理，解三角形的應用，屬于基礎題．