Question

（本小題滿分16分）

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）按下列要求建立函數關系式：

（i）設（rad），將表示成的函數；并寫出函數的定義域.      (5分)

（ii）設（km），將表示成的函數；并寫出函數的定義域.        (5分) 

（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定垃圾處理廠的位置，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？          (6分)

Answer 1

（本小題滿分16分）

解:（1）（i）由題意知, AC=, BC=,     

              ---------------------------------2分

其中 當時，y=0.065 , 所以k=9

所以  ---------------------------------3分

（ii）如圖,由題意知AC⊥BC,, -----7分

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數為-----------------------10分

（2）（i）---------------------------------4分

當且僅當   即當AC時, 即當C點到城A的距離為時, 函數

有最小值. ---------------------------------16分

（ii）,,

令得,所以,即,

當時, ,即所以函數為單調減函數

,當時, ,即所以函數為單調增函數--------14分

.所以當時, 即當C點到城A的距離為時, 函數有最小值.                    ------------------16分

解法二: （1）同上.

（2）設,

則,,所以

 ------10分

當且僅當即時取”=”.

所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.                                                   ------------------16分