Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)b_n；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{T_n}的單調(diào)性，并證明．
（Ⅲ）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，S2n≥

7n+11

12

．

Answer 1

分析：（I）將兩個(gè)已知等式結(jié)合得到關(guān)于數(shù)列{b_n}的項(xiàng)的遞推關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

1

bn

，進(jìn)一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通過放縮法，判斷出此差的符號(hào)，判斷出T_n+1，T_n兩者的大小，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：（Ⅰ）證明：由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n，∴b_n=

1

n

；
（Ⅱ）解：數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增
∵S_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴T_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n，
∴數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增；
（Ⅲ）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，S22=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

=

7×2+11

12

，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1+

1

2

+…+

1

2k

≥

7k+11

12

，
則n=k+1時(shí)，S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

≥

7k+11

12

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

7k+11

12

+

1

3

+

1

4

=

7(k+1)+11

12

，即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S2n≥

7n+11

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)．