Question

(本小題滿分13分)

已知數列、、的通項公式滿足，（）．若數列

是一個非零常數列，則稱數列是一階等差數列；若數列是一個非零常數列，則稱數列是二階等差數列．

（Ⅰ）試寫出滿足條件，，的二階等差數列的前五項；

（Ⅱ）求滿足條件（Ⅰ）的二階等差數列的通項公式；

（Ⅲ）若數列的首項，且滿足，求數列的通項公式．

Answer 1

  (本小題滿分13分)

已知數列、、的通項公式滿足，（）．若數列

是一個非零常數列，則稱數列是一階等差數列；若數列是一個非零常數列，則稱數列是二階等差數列．

（Ⅰ）試寫出滿足條件，，的二階等差數列的前五項；

（Ⅱ）求滿足條件（Ⅰ）的二階等差數列的通項公式；

（Ⅲ）若數列的首項，且滿足，求數列的通項公式．

解：（Ⅰ）

   （Ⅱ）依題意  

所以

=1+1+1+1+…+1=n.

又，……

所以

 

   （Ⅲ）由已知可得

即

解法一：整理得：a_n+1+2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），

因而數列的首項為，公比為4的等比數列，

∴a_n+2ⁿ=4·4^n-1=4ⁿ，

即 。

解法二：在等式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹得：

 

令

故數列{k_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列.

所以k_n+1=2·2^n-1=2^n­­，即k_n=2ⁿ－1

∴