Question

若關(guān)于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五個互不相等的實根，則k的取值范圍是（　　）

• A、(-

  1

  4

  ，

  1

  4

  )
• B、(-∞，-

  1

  4

  )∪(

  1

  4

  ，+∞)
• C、(-∞，-

  1

  8

  )∪(

  1

  8

  ，+∞)
• D、(-

  1

  8

  ，0)∪(0，

  1

  8

  )

Answer 1

分析：由方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0得|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=kx+1，設(shè)函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，g(x)=kx+1，然后分別作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用圖象確定k的取值范圍．

解答：解：∵方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0，
∴|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=kx+1，
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，g(x)=kx+1，
則f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=

- 2 x ，x＜-1 -2x，-1≤x≤0 2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，
當(dāng)x＞1時，由直線g（x）=kx+1與f（x）=

2

x

相切時，得kx+1=

2

x

，
即kx²+x-2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=-

1

8

，
當(dāng)x＜-1時，由直線g（x）=kx+1與f（x）=-

2

x

相切時，得kx+1=-

2

x

，
即kx²+x+2=0，由△=1-4×2k=0，解得k=

1

8

，
∴要使關(guān)于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五個互不相等的實根，
則由圖象可知-

1

8

＜k＜0或0＜k＜

1

8

，
即k的取值范圍是(-

1

8

，0)∪(0，

1

8

)，
故選：D．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．