Question

給出以下四個結論：
（1）函數f(x)=

x-1

2x+1

的對稱中心是(-

1

2

，-

1

2

)；
（2）若關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實數根，則k的取值范圍是k≥2；
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側，當a＞0且a≠1，b＞0時，

b

a-1

的取值范圍為(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)；
其中正確的結論是：

 

．

Answer 1

分析：把函數通過分子常數化變化成反比例函數的形式，寫出對稱中心，得到第一個說法不正確；構造函數，求出函數的值域，根據函數值域得到所給的k的值能夠使得函數有根，直線與線段PQ有交點，根據要求的結果是PQ兩點連線的斜率．

解答：解：∵函數f(x)=

x-1

2x+1

=

1

2

•

x-1

x+ 1 2

=

1

2

[1- 

3 2

x+ 1 2

]=-

3 4

x+ 1 2

+

1

2

，
∴函數的對稱中心是（-

1

2

，

1

2

)，故（1）不正確．
令f（x）=x-

1

x

+k，函數是一個遞增函數，
當x∈（0，1）時，
函數的值從負無窮變化到接近于0，
∴當k≥2時，函數與x軸有交點，故（2）不正確，
點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側，
即直線與線段PQ有交點，
根據要求的結果是PQ兩點連線的斜率，
得到斜率范圍為(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)，故（3）正確，
故答案為：（3）

點評：本題考查圖形的對稱性，考查根的存在性與根的個數的判斷，考查直線與線段之間的關系，是一個綜合題目．