Question

函數f（x）的定義域為[0，1]，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=1-f（x），則f(

1

6

)+f(

1

9

)=

1

2

．

Answer 1

分析：在③中，令x=0，則可求出f（1），在②中，令x=1，則可求出f（

1

3

）．在②③中，再分別令x=

1

2

、

1

3

，可求出f（

1

2

），f（

1

6

），f（

1

9

），進而求出f(

1

6

)+f(

1

9

)的值．

解答：解：由③f（1-x）=1-f（x），令x=0，則f（1）=1-f（0）．又f（0）=0，∴f（1）=1．
由②f(

x

3

)=

1

2

f(x)，令x=1，則f（

1

3

）=

1

2

f（1），∴f（

1

3

）=

1

2

．
在③f（1-x）=1-f（x）中，令x=

1

2

，則f（1-

1

2

）=1-f（

1

2

），解得f（

1

2

）=

1

2

，
在②f(

x

3

)=

1

2

f(x)中，令x=

1

3

，則f（

1

9

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

4

；
再令x=

1

2

，則f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

．
于是f（

1

6

）+f（

1

9

）=

1

4

+

1

4

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查函數值的求法，抽象函數的應用，循環求解，賦值法的應用，恰當的取值和利用條件是解決此題的關鍵．