Question

如圖，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是銳角），作AB₁⊥OB，B₁A₁∥BA；再作A₁B₂⊥OB，B₂A₂∥BA；如此無限連續作下去，設△ABB₁，△A₁B₁B₂，…的面積為S₁，S₂，…求無窮數列S₁，S₂，…的和．

Answer 1

【答案】分析：首先用a，b，θ表示出AB₁和BB₁進而表示出△B₁AB，進而表示出，發現數列{S_n}為等比數列，公比為根據其小于1，推斷此數列為遞縮等比數列．進而通過數列{S_n}的前n項和的極限求得答案．
解答：解：AB₁=bsinθ，BB₁=a-bcosθ
（對一切n≥1成立，此時視AB為AB）
∵△ABB₁∽△A₁B₁B₂∽△A₂B₂B₃∽，
=bsinθ（a-bcosθ），
∵△OAB₁∽△OA₁B₁∽△OA₂B₂…
∴===，
∴，
即公比Q=．
∵θ是銳角，a≥b，
∴0＜＜1，
∴數列S₁，S₂，S₃，是無窮遞縮等比數列，
點評：本題主要考查了等比數列的求和問題．做題的關鍵是從題設的條件中歸納出等比數列．