Question

（2010•崇文區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W中的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足x²+y²≤5，從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M（x，y）．
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求點(diǎn)M位于第四象限的概率；
（Ⅱ）已知直線l：y=-x+b（b＞0）與圓O：x²+y²=5相交所截得的弦長為

15

，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

分析：（I）先一一列舉出平面區(qū)域W中的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再看看在第四象限的有多少個(gè)點(diǎn)，最后利用概率公式計(jì)算即得；
（II）因滿足：“y≥-x+b”的平面區(qū)域是一個(gè)弓形區(qū)域，欲求y≥-x+b的概率，只須求出弓形區(qū)域的面積與圓的面積之比即可．

解答：解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有21個(gè)，
列舉如下：（-2，-1），（-2，0），（-2，1）；（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1），（1，2）；（2，-1），（2，0），（2，1）．
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），（1，-2），（2，-1）時(shí)，點(diǎn)M位于第四象限．
故點(diǎn)M位于第四象限的概率為

1

7

．（6分）

（Ⅱ）由已知可知區(qū)域W的面積是5π．
因?yàn)橹本�l：y=-x+b與圓O：x²+y²=5的弦長為

15

，
如圖，可求得扇形的圓心角為

2

3

π，
所以扇形的面積為S=

1

2

×

2

3

π×

5

×

5

=

5

3

π，
則滿足y≥-x+b的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域的面積為S=

5

3

π-

1

2

×

5

×

5

×sin

2

3

π=

20π-15 3

12

，
所以y≥-x+b的概率為

20π-15 3 12

5π

=

4π-3 3

12π

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型和幾何概型，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=

m

n

．如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．