Question

【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足：對于任意實(shí)數(shù)x、y，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數(shù)．

已知為“類余弦型”函數(shù)，且，求和的值；

在的條件下，定義數(shù)列2，3，求的值．

若為“類余弦型”函數(shù)，且對于任意非零實(shí)數(shù)t，總有，證明：函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)有理數(shù)，滿足，判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）證明見解析，，證明見解析

【解析】

是抽象函數(shù)基礎(chǔ)題,令,求得;令,求得;

對于此數(shù)列,需要求其通項(xiàng),而求通項(xiàng)又需要遞推公式,令，,利用題中關(guān)系式推導(dǎo)出遞推公式,求通項(xiàng)然后利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解答案;

屬于難題,因?yàn)?/span>的鋪墊,代入特定的數(shù)即令,y為任意實(shí)數(shù)即可證明偶函數(shù),證明與的大小關(guān)系需要定義新的數(shù)列,又因?yàn)轭}目中的有理數(shù)條件,要充分利用分?jǐn)?shù)的特點(diǎn).

解：令，，則，所以．

令，，則，所以．

令，，其中n是大于1的整數(shù)，則，所以，即．

又因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，所以，則．

所以原式．

(3)證明:由題意函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱,

令,y為任意實(shí)數(shù),則，即，所以是偶函數(shù)．

令N為,分母的最小公倍數(shù),并且,,都是自然數(shù),并且．

令數(shù)列滿足，，1，下證：數(shù)列單調(diào)遞增．

，所以；

若，n是正整數(shù)，即；

令，，則，即．

所以．

綜上,數(shù)列單調(diào)遞增,所以，又因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以