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定義在(-1,1)上的函數f(x),同時滿足下列兩個條件:
①對于任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(數學公式);
②當x∈(-1,0)時,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并說明理由;
(3)判斷f(x)在(0,1)上的單調性,并給出證明.

解:(1)令x=y=0?f(0)=0,
(2)f(x)在(-1,1)上是奇函數
∵對于任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(
∴令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函數.
(3)f(x)在(0,1)上單調遞減
證明:設0<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f().
而x1-x2<0,0<x1x2<1所以-1<<0
∵當x∈(-1,0)時,f(x)>0
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()>0
即當x1<x2時,f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,1)上單調遞減.
分析:(1)利用賦值法,令x=y=0,可求出f(0)的值;
(2)欲說明f(x)在(-1,1)上是奇偶性,只需說明f(-x)與f(x)的關系,令y=-x,將f(0)的值代入即可判斷函數的奇偶性;
(3)先設0<x1<x2<1,然后作差求f(x1)-f(x2),根據題目條件進行化簡變形判定其符號,根據函數單調性的定義即可判定.
點評:本題主要考查了函數的單調性的判定與證明,以及函數奇偶性的判定,函數的奇偶性是函數在定義域上的“整體”性質,單調性是函數的“局部”性質,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數,且f(
1
2
)=
2
5
,
①求函數f(x)的解析式;
②判斷函數f(x)在(-1,1)上的單調性并用定義證明;
③解關于x的不等式f(log2x-1)+f(log2x)<0.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數,當x∈(0,1)時,f(x)=2x2-2x,求f(x)在(-1,1)上的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0,>0.

(1)證明f(x)在[-1,1]上是增函數;

(2)解不等式f(x+)<f().

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年山東省青島市即墨一中高一(上)期中數學試卷(解析版) 題型:解答題

函數f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數,且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數在(-1,1)上的單調性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年黑龍江省哈爾濱三中高一(上)段考數學試卷(解析版) 題型:解答題

函數f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數,且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數在(-1,1)上的單調性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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