Question

已知f(x)=

x(x-a+1)+a-4

x-2

．
（1）若關于x的方程f（x）=0有大于2的兩個實根，求a的取值范圍；
（2）解關于x的不等式f（x）＞2（其中a＞1）．

Answer 1

分析：（1）通過方程f（x）=0有大于2的兩個實根，利用韋達定理列出關系式，即可求a的取值范圍；
（2）不等式f（x）＞2，轉化為3次不等式，通過a＞1，討論因式的根的大小求解不等式的解集即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）由f（x）=0有大于2的兩個實根，等價于x（x-a+1）+a-4=0
即x²-（a-1）x+a-4=0有大于2的兩個實根，
∴

△=(1-a)2-4(a-4)≥0 x1+x2=a-1＞4 (x1-2)(x2-2)=-a+2＞0

⇒

a∈R a＞5 a＜2

⇒a∈∅
（2）關于x的不等式f（x）＞2，
可得

x(x-a+1)+a-4

x-2

＞2
即：

x2-(a+1)x+a

x-2

＞0?

(x-a)(x-1)

x-2

＞0
即：（x-a）（x-1）（x-2）＞0由于a＞1，
于是有：
①當1＜a＜2時，不等式的解集為：{x|1＜x＜a或x＞2}．
②當a＞2時，不等式的解集為：{x|1＜x＜2或x＞a}．
③當a=2時，不等式的解集為：{x|x＞1且x≠2}．

點評：本題考查函數的零點的應用，不等式的解集的求法，分類討論問題的應用，考查計算能力．