Question

【題目】設不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤ ，|z|≤ ，求證：|x+2y﹣3z|≤ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據絕對值的意義，|x+1|+|x﹣1|表示數軸上的x對應點到﹣1、1對應點的距離之和， 它的最小值為2，
故不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集為M=[﹣1，1]．
（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤ ，|z|≤ ，
∴|x+2y﹣3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2× +3× = ，
∴：|x+2y﹣3z|≤ 成立
【解析】（Ⅰ）由條件利用絕對值的意義求得M．（Ⅱ）由條件利用絕對值不等式的性質可證得不等式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號，以及對二維形式的柯西不等式的理解，了解二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立．