Question

已知函數f（x）=

1+lnx

x

．
（1）設a＞0，若函數f（x）在區間（a，a+

1

2

）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥

k2-k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數求得函數f（x）的極值點x₀，令x0∈(a，a+

1

2

)即可；
（2）不等式f(x)≥

k2-k

x+1

，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k2-k，設g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用導數求出g（x）在[1，+∞）上的最小值，使其大于等于k²-k即可；

解答：解：（1）因為f(x)=

1+lnx

x

，則f′(x)=-

lnx

x2

(x＞0)，
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
所以f（x）在x=1處取得極大值．
因為f（x）在區間(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在極值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．
（2）不等式f(x)≥

k2-k

x+1

，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k2-k．
設g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，則g′(x)=

x2-lnx

x2

． 
 令h（x）=x²-lnx，則h′(x)=1-

1

x

．
因為x≥1，所以h'（x）≥0，則h（x）在[1，+∞）上單調遞增．
所以h（x）得最小值為h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以g（x）得最小值為g（1）=2，
所以k²-k≤2，解得-1≤k≤2．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、在閉區間上的最值，考查恒成立問題，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．