Question

已知函數
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，e]，?x₀∈[1，e]，f（x₁）=g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax-lnx，∴．
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=，當x∈（0，]時，f′（x）≤0，此時f（x）為減函數；
當x∈[）時，f′（x）≥0，此時f（x）為增函數．
∴當a≤0時，f（x）的遞減區間是（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的遞減區間是（0，]，遞增區間是[，+∞）．
（2）當x∈[1，e）時，g′（x）=≥0，
∴g（x）在[1，e）上是增函數，
∴g（x）∈，．
設f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，
由題意，得A⊆B，
當a≤0時，f（x）在[1，e]上是減函數，∴A=[ae-1，a]，此時a不存在；
當a＞0時，若，即0＜a時，f（x）在[1，e]上是減函數，
∴A=[ae-1，a]，
∴，此時a不存在．
若1，即時，
f（x）在[1，]上是減函數，在[，e]上是增函數．
∴，
∴，解得．
若，即a＞1時，f（x）在[1，e]上是增函數，∴A=[a，ae-1]．
∴，此時a不存在．
綜上，a∈[，]．
分析：（1）由f（x）=ax-lnx，知．再由實數a的取值范圍進行分類討論，能夠求出f（x）的單調區間．
（2）當x∈[1，e）時，g′（x）=≥0，故g（x）在[1，e）上是增函數，所以g（x）∈，．設f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，由題意，得A⊆B，由此入手進行分類討論，能夠求出實數a的取值范圍．
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，計算繁瑣，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．