Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在A₁B₁上，且A₁P=3PB₁．
（I）求證：PD⊥AD₁；
（II）求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）求點B到平面DD₁P的距離．

Answer 1

證明：（I）由A₁B₁=AB=2，A₁P=3PB₁．
∴A₁P=
如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，則
∵
∴
∴
∴PD⊥AD₁；
（II）設平面DD₁P 的法向量為
∴
取y=-2，，則
∵平面CDD₁的法向量可為
∴
∵二面角C-DD₁-P的平面角為銳角
∴二面角C-DD₁-P的大小為；
（III）點B到平面DD₁P的距離為=．
分析：（I）建立空間直角坐標系D-xyz，用坐標表示點與向量，進而證明，從而PD⊥AD₁；
（II）設平面DD₁P 的法向量為，求得，又平面CDD₁的法向量可為，利用向量的夾角公式可求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）利用點B到平面DD₁P的距離公式可得=．
點評：本題以長方體為載體，考查線線垂直，考查面面角，考查點到面的距離，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，用向量的方法解決立體幾何問題．