Question

設數列{a_n}為等差數列，其前n項和為S_n，已知a₁+a₄+a₇=60，a₂+a₅+a₈=51，若對任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，則k的值為

10

．

Answer 1

分析：利用等差數列的性質可求得a₄、a₅、的值，從而可求得其公差d=-3，繼而可求得a_n，s_n，s_k，利用任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，可求得k的值．

解答：解：∵數列{a_n}為等差數列，a₁+a₄+a₇=60，a₂+a₅+a₈=51，
∴3a₄=60，3a₅=51，
∴a₄=20，a₅=17，設等差數列{a_n}的公差為d，則d=a₅-a₄=-3，
∴a_n=a₄+（n-4）d=20+（n-4）×（-3）=32-3n．
對任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，則s_k為前n項和的最大值，
∴

an≥0 an+1≤0

即

32-3n≥0 32-3(n+1)≤0

解得

29

3

≤n≤

32

3

，又n∈N*，
∴n=10．
故答案為：10．

點評：本題考查等差數列的前n項和，著重考查等差數列的通項公式與求和公式，特別是“對任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立”的含義的理解--s_k為前n項和的最大值．屬于難題．
屬于中檔題．