Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值為-

1

8

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=（

4

5

）^f（n），求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若5f（a_n）是b_n與a_n的等差中項，試問數列{b_n}中第幾項的值最小？求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值為-

1

8

結合二次函數的性質，我們構造關于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函數f（x）的解析式；
（2）由已知中T_n=（

4

5

）^f（n），根據a_n=

Tn

Tn-1

，我們可以求出n≥2時，數列的通項公式，判斷a₁=T₁=1是否符合所求的通項公式，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（3）根據等差中項的定義，及5f（a_n）是b_n與a_n的等差中項，我們易判斷數列{b_n}的單調性，進而求出數列{b_n}的最小值，及對應的項數．

解答：解：（1）由題知：

a+b=0 a＞0 - b2 4a =- 1 8

，
解得

a= 1 2 b=- 1 2

，
故f（x）=

1

2

x²-

1

2

x．…（4分）
（2）T_n=a₁•a₂•…•a_n=(

4

5

)

n2-n

2

，
T_n-1=a₁•a₂•…•a_n-1=(

4

5

)

(n-1)2-(n-1)

2

（n≥2）
∴a_n=

Tn

Tn-1

=(

4

5

)n-1（n≥2），
又a₁=T₁=1滿足上式．
所以a_n=(

4

5

)n-1．…（9分）（驗證a₁1分）
（3）若5f（a_n）是b_n與a的等差中項，則2×5f（a_n）=b_n+a_n，
從而10(

1

2

a

2 n

-

a

n

)=b_n+a_n，
b_n=5a_n²-6a_n=5(an-

3

5

)2-

9

5

．
因為a_n=(

4

5

)n-1是n的減函數，所以
當a_n≥

3

5

，即n≤3時，b_n隨n的增大而減小，此時最小值為b₃；
當a_n＜

3

5

，即n≥4時，b_n隨n的增大而增大，此時最小值為b₄．
又|a₃-

3

5

|＜|a₄-

3

5

|，所以b₃＜b₄，即數列{b_n}中b₃最小，且b₃=-

224

125

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解及常用方法，數列的函數特性，等比數列的通項公式，其中熟練掌握數列問題的處理方法，如a_n=

Tn

Tn-1

，等差中項，是解答本題的關鍵．