Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，點E在棱AB上移動；小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁，所爬的最短路程為2．

                    

(1)求證：D₁E⊥A₁D；

(2)求AB的長度；

(3)在線段AB上是否存在點E，使得二面角D₁-EC-D的大小為.若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解一:(1)證明:連結AD₁,由長方體的性質可知:

AE⊥平面AD₁, ∴AD₁是ED₁在平面AD₁內的射影.

又∵AD=AA₁=1，∴AD₁⊥A₁D

∴D₁E⊥A₁D₁(三垂線定理)

(2)設AB=x，∵四邊形ADD₁A是正方形，

∴小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁

可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為|AC₁|=

如圖乙的最短路程為

∵x＞1   ∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4

∴  ∴x=2

(3)假設存在連結DE，設EB=y，過點D在平面ABCD內作DH⊥EC，連結D₁H，則∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，∴∠D₁HD=

∴DH=DD₁=1

在Rt△EBC內，EC=，而EC·DH=DC·AD

即解得y=.

即存在點E，且離點B為時，二面角D₁-EC-D的大小為.

解法二：(1)如圖建立空間坐標系

設AE=a

則E(1，a，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，

∴=(1，0，1)，=(1，a，-1)

∴·=1×1+0×a+1×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D

(2)同解法一

(3)假設存在，平面DEC的法向量n₁=(0，0，1)

=(0，2，-1)

設平面D₁EC的法向量n₂=(x，y，z)，則

即，解得：∴n₂=(2-a,1,2) 

由題意得cos(n₁,n₂)=

解得：a=2-或a=2+  (舍去)

即當點E離B為時，二面角D₁-EC-D的大小為.