Question

滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積最大值是

4

3

．

Answer 1

分析：設BC=x，根據面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達式，進而得到關于x的三角形面積表達式，再根據x的范圍求得三角形面積的最大值．

解答：解：設BC=x，則AC=2x，由余弦定理可得 cosB=

x2+4-4x2

4x

=

4-3x2

4x

．
由于三角形ABC的面積為

1

2

•2•x•sinB=x

1-cos2B

=

x2[1-( 4-3x2 4x )2]

=

-9x4+40x2-16 16

=

-9x4+40x2+16

4

．
再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得

x+2x＞2 x+2＞2x

，解得

2

3

＜x＜2，故

4

9

＜x²＜4．
再利用二次函數的性質可得，當x²=

20

9

時，函數-9x⁴+40x²+16取得最大值為 

256

9

，
故

-9x4+40x2+16

4

的最大值為

4

3

，
故答案為

4

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題，屬于中檔題．