Question

已知△ABC中，a+b=

3

c，cos2C=1-3sinAsinB．
（1）求∠C；
（2）求證：△ABC為非等腰三角形．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,二倍角的余弦,正弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用二倍角的余弦公式，結合正弦定理，再由余弦定理，即可求得cosC，進而得到角C；
（2）由三角形的內角和定理，求得B，再由正弦定理，結合兩角和的正弦公式，化簡整理，即可求得A，進而說明三角形不為等腰三角形．

解答： （1）解：cos2C=1-3sinAsinB，
即有1-2sin²C=1-3sinAsinB，
即為2sin²C=3sinAsinB，
由正弦定理，可得，2c²=3ab，
又a+b=

3

c，
由余弦定理，可得，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3c2- 4 3 c2-c2

4 3 c2

=

1

2

，
由于0＜C＜π，即有C=

π

3

；
（2）證明：由C=

π

3

，則A+B=

2π

3

，
即有B=

2π

3

-A，
又a+b=

3

c，則sinA+sinB=

3

sinC=

3

2

，
即有sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

，
即為

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

，
即有sin（A+

π

6

）=

3

2

，
由于0＜A＜

2π

3

，則A+

π

6

=

π

3

或

2π

3

．
則有A=

π

6

或

π

2

．
則有A=

π

6

，B=

π

2

，C=

π

3

或A=

π

2

，B=

π

6

，C=

π

3

．
故△ABC為非等腰三角形．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．