Question

某飛機制造公司一年中最多可生產某種型號的飛機100架．已知制造x架該種飛機的產值函數為R（x）=3000x-20x²（單位：萬元）成本函數C（x）=500x+4000（單位：萬元）已知利潤是產值與成本之差．
（1）求利潤函數P（x）；
（2）求該公司的利潤函數P（x）的最大值，并指出此時的x值．

Answer 1

分析：（1）利用利潤是產值與成本之差，可求利潤函數P（x）；
（2）由（1）得出：P（x）=-20（x-

125

2

）²+74125（x∈N^*，且x∈[1，100]），進而可確定利潤函數P（x）的最大值．

解答：解：（1）根據利潤是產值與成本之差，可得
P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x²）-（500x+4000）=-20x²+2500x-4000（x∈N^*，且x∈[1，100]）
（2）P（x）=-20x²+2500x-4000=-20（x-

125

2

）²+74125
∵x∈N^*，且x∈[1，100]
∴當x=62或63時，P（x）_max=74120（元）

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．