Question

已知數列{a_n}中，在直線y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅲ）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列為等差數列？若存在，試求出λ．若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點（n、2a_n+1-a_n）代入直線方程可得2a_n+1=a_n+n代入b_n和b_n+1中兩式相除結果為常數，故可判定{b_n}為等比數列．
（II）由（I）可求得數列{b_n}的通項公式，進而可求得數列的前n項和，進而可得{a_n}的通項公式．
（III）把數列a_n}、{b_n}通項公式代入a_n+2b_n，進而得到S_n+2T的表達式代入T_n，進而推斷當且僅當λ=2時，數列是等差數列．
解答：解：（I）由已知得，
∵，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴
∴{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列．
（II）由（I）知，，
∴，
∴，，
…
∴，
將以上各式相加得：
∴，
∴
∴
（III）存在λ=2，使數列是等差數列．
由（I）、（II）知，a_n+2b_n=n-2
∴=
又
∴當且僅當λ=2時，數列是等差數列．
點評：本題主要考查了等比關系和等差關系的確定．要利用好a_n和a_n-1的關系．