Question

13．已知函數f（x）=|ax²-8x|（a＞0）．
（1）當a≤8時，求函數f（x）在區間[-1，1]上的最大值；
（2）設b∈R，若存在實數a，使得函數y=|f（x）-2|在區間[0，b]上單調遞減，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=|a+8|＞f（1）=|a-8|，$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}≥2$，分類討論，求函數f（x）在區間[-1，1]上的最大值；
（2）y=|f（x）-2|=||ax²-8x|-2|，對稱軸$x=\frac{4}{a}$，分類討論，利用函數y=|f（x）-2|在區間[0，b]上單調遞減，建立不等式，即可求實數b的取值范圍．

解答 解：（1）f（-1）=|a+8|＞f（1）=|a-8|，$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}≥2$，
①當0＜a≤4時，即$1≤\frac{4}{a}$，則f（x）_max=f（-1）=a+8；
②當4＜a≤8時，f（x）_max=f（-1）=a+8或$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}$，
當$a+8=\frac{16}{a}$時，$a=4\sqrt{2}-4$，所以當$a＞4\sqrt{2}-4$時，f（x）_max=f（-1）=a+8．
綜上，f（x）_max=a+8．
（2）y=|f（x）-2|=||ax²-8x|-2|，對稱軸$x=\frac{4}{a}$，
①a≥8時，要使函數y=|f（x）-2|在區間[0，b]上單調遞減，
則$[0，b]⊆[0，\frac{4}{a}]$，即$b≤\frac{4}{a}$，
又因為$0＜\frac{4}{a}≤\frac{1}{2}$，所以$b≤\frac{1}{2}$；
②當0＜a＜8時，${x_2}=\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}$，要使函數y=|f（x）-2|在區間[0，b]上單調遞減，
則$[0，b]⊆[0，\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}]$，即$b≤\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}=\frac{2}{{4+\sqrt{16-2a}}}$，
又因為$0＜\sqrt{16-2a}＜4$，∴$4＜4+\sqrt{16-2a}＜8$，∴$\frac{1}{4}＜\frac{2}{{4+\sqrt{16-2a}}}＜\frac{1}{2}$，即$b＜\frac{1}{2}$．
綜上，b≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數的最值，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．