Question

已知函數f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

，現給出下列命題：
①當圖象是一條連續不斷的曲線時，則a=

1

8

；
②當圖象是一條連續不斷的曲線時，能找到一個非零實數a，使得f （x）在R上是增函數；
③當a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函數 y=f（|x+1|）是偶函數．
其中正確的命題是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

[(3a-1)x+5a]=8a-1=

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

loga x=0?a=

1

8

，故①正確；a=

1

8

，f （x）在R上是減函數，故②不正確；當a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；函數 y=f（|x+1|）是偶函數不成立．即④不正確．

解答：解：

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

[(3a-1)x+5a]=8a-1，

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

loga x=0，
∵圖象是一條連續不斷的曲線，
∴8a-1=0，a=

1

8

，故①正確；
當圖象是一條連續不斷的曲線時，
a=

1

8

，f （x）在R上是減函數，故②不正確；
當a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；
函數 y=f（|x+1|）是偶函數不成立．即④不正確．
故選A．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，解題時要注意極限和連續的合理運用．