Question

P為△ABC所在平面外的一點，則點P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要條件是

1. A.
   PA=PB=PC
2. B.
   PA⊥BC，PB⊥AC
3. C.
   點P到△ABC三邊所在直線距離相等
4. D.
   平面PAB、平面PBC、平面PAC與△ABC所在的平面所成的角相等

Answer 1

B
分析：本題利用直接法和排除法聯合求解，對于選項A，C，D用排除法，對于B，用直接法進行證明．
解答：條件A為外心的充分必要條件，
條件C、D為內心或旁心的必要條件（當射影在△ABC的形內時為內心，在形外時為旁心）．
對于B：
∵PH⊥平面ABC于H，
∴PH⊥BC，
又PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH，即AH是三角形ABC的高線，
同理，BH、CH也是三角形ABC的高線，
∴垂足H是△ABC的垂心．反之也成立．
故選B．
點評：本題主要考查了三角形五心、必要條件、充分條件與充要條件的判斷，以及空間幾何體的概念、空間想象力，屬于基礎題．