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已知集合.對(duì)于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為
(Ⅰ)當(dāng)n=5時(shí),設(shè)A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B);
(Ⅱ)證明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈S20.若A,B∈S20,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ) 當(dāng)n=5時(shí),直接利用,求得 d(A,B)的值.
(Ⅱ)設(shè)A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn),則由題意可得?λ>0,使得 
 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n,由此計(jì)算 d(A,B)+d(B,C)的結(jié)果,計(jì)算d(A,C)的結(jié)果,從而得出結(jié)論
(Ⅲ) 根據(jù)x,y∈R,則有|x+y|≤|x|+|y|,可得所以   ,等號(hào)成立的條件為ai=1,或bi=1,從而得到 d(A,B)≤26,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:當(dāng)n=5時(shí),由,
得 d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7,所以 d(A,B)=7.
(Ⅱ)證明:設(shè)A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn).
因?yàn)?λ>0,使
所以?λ>0,使得 (b1-a1,b2-a2,…,bn-an)=λ((c1-b1,c2-b2,…,cn-bn),
所以?λ>0,使得 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n.
所以 bi-ai與ci-bi(i=1,2,…,n)同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù).
所以 
==
(Ⅲ) 首先證明如下引理:設(shè)x,y∈R,則有|x+y|≤|x|+|y|.
證明:因?yàn)?|x|≤x≤|x|,-|y|≤y≤|y|,所以-(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|,
即|x+y|≤|x|+|y|.
所以    
=
上式等號(hào)成立的條件為ai=1,或bi=1,所以 d(A,B)≤26.
對(duì)于 A=(1,1,…,1,14),B=(14,1,1,…,1),有 A,B∈S20,
且d(I,A)=d(I,B)=13,故d(A,B)=26.
綜上,d(A,B)的最大值為26.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查新定義,兩點(diǎn)間的距離公式,兩個(gè)向量共線,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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①τ={,{a}, {c}, {a, b, c}};   ②τ={,, {c}, {b, c}, {a, b, c}};

③τ={,{a}, {a, b}, {a, c}};   ④τ={,{a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}.

其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱?hào)是_________________

 

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