Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若，且A為鈍角，求內角A與C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，化簡整理求得sinC=-cosA．進而求得C和A的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得b的表達式，根據基本不等式求得cosB的范圍，進而求得sinB的大值．
解答：解：（Ⅰ）由題設及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因為A為鈍角，所以sinC=-cosA．
由，可得，得，．
（Ⅱ）由余弦定理及條件，有，
因a²+c²≥2ac，
所以．
故，
當a=c時，等號成立．從而，sinB的最大值為．
點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．考查了三角函數與不等式基礎知識的結合．