Question

如下圖,在三棱錐P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC,點O,D分別是AC,PC的中點,OP⊥平面ABC.

求證:直線OD∥平面PAB.

Answer 1

證明：因為AB=BC,O為AC的中點,

所以OB⊥AC,OA=OB=OC.如右圖建立空間直角坐標系,

設OA=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,0,b),則D(-,0,).

所以=(-,0,).

設平面PAB的法向量為n=(x,y,z),

則

由于=（a,0,-b）,=(-a,a,0).

所以

令z=,則x=y=1,

所以n=(1,1,).所以·n==0.

所以⊥n.

又因為OD不在平面PAB內.

所以OD∥平面PAB.