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5.設函數$f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<\frac{π}{2})$的最小正周期為π,且$f(x+\frac{π}{6})$是偶函數,則(  )
A.f(x)在$(-\frac{π}{4},\frac{π}{6})$單調遞增B.f(x)在$(\frac{π}{4},\frac{3}{4}π)$單調遞增
C.f(x)在$(-\frac{π}{4},\frac{π}{6})$單調遞減D.f(x)在$(\frac{π}{4},\frac{3}{4}π)$單調遞減

分析 利用三角恒等變換求出f(x)的解析式,根據正弦函數在(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$)和($\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{3}$)上的單調性判斷f(x)在(-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$)和($\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$)上的單調性.

解答 解:f(x)=$\sqrt{2}$sin(ωx+Φ+$\frac{π}{4}$),
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π,∴ω=2,
∵f(x+$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$)是偶函數,
∴$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ,解得Φ=-$\frac{π}{12}$+kπ,k∈Z,
又|Φ|<$\frac{π}{2}$,∴Φ=-$\frac{π}{12}$.
∴f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{6}$),
∴當x∈(-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$)時,2x+$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$),
當x∈($\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$)時,2x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{3}$),
∵y=sinx在(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$)上單調遞增,在($\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{3}$)上不單調,
∴f(x)在(-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$)上單調遞增,在($\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$)上不單調.
故選A.

點評 本題考查了三角恒等變換,正弦函數的性質,屬于中檔題.

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