Question

設點A（m，n）在直線y=-

a

b

x-

2c

b

的圖象上，（其中a，b，c為直角三角形的三邊長，c為斜邊），則m²+n²的最小值為

4

．

Answer 1

分析：根據題意，m²+n²的幾何意義是原點（0，0）與P（m，n）兩點間距離的平方，從而可求得m²+n²的最小值．

解答：解：由題意，m²+n²的幾何意義是原點（0，0）與P（m，n）兩點間距離的平方，
要使m²+n²的值最小，則點P為原點O（0，0）在直線y=-

a

b

x-

2c

b

，
即ax+by+2c=0上的射影，故（m²+n²）_min=|PO|²，
∵a、b、c為某一直角三角形的三條邊長，c為斜邊，∴a²+b²=c²，
由點到直線間的距離公式得：|PO|=

|2c|

a2+b2

=2，
∴（m²+n²）_min=4．
故答案為：4．

點評：本題考查兩點間距離的幾何意義，考查點到直線的距離公式，突出轉化意識，屬中檔題．