Question

（2010•朝陽區二模）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O．
（Ⅰ）求證：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知E為側棱SC上一個動點．試問對于SC上任意一點E，平面BDE與平面SAC是否垂直？若垂直，請加以證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD=O，即可證明SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，說明SO⊥BD．然后證明AC⊥BD．利用AC∩SO=O，推出BD⊥面SAC．再證明平面BDE⊥平面SAC

解答：證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是正方形，AC∩BD=O，
所以O是AC，BD中點．
由已知，SA=SC，SB=SD，
所以SO⊥AC，SO⊥BD，
又AC∩BD=O，
所以SO⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）對于SC上任意一點E，平面BDE⊥平面SAC．
證明如下：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，
而BD?面ABCD，所以SO⊥BD．
又因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因為AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC．
又因為BD?面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．…（13分）

點評：考查重點考查直線與平面垂直的判定定理的應用，平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力，推理論證能力．