Question

【題目】將編號為1，2，…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為S.求使S達到最小值的放法的概率.注：如果某種放法經旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法.

Answer 1

【答案】

【解析】

九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個相當于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，共有種放法，考慮到翻轉因素，故本質不同的放法有種.

下求使S達到最小值的放法數：

在圓周上，從1到9有優弧和劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設是依次排列于這段弧上的小球號碼.

則

當且僅當時，上式等號成立

即每段弧上的小球編號均為由1到9遞增排列.

因此，.

由上，知當每段弧上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.

在1，2，…，9中，除1與9外，剩下七個球號2，3，…，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情形，每種情形對應著圓周上使得S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數為種，故所求概率.