Question

（2006•崇文區(qū)二模）如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為 2

2

，側(cè)棱長為4，點E、F分別是棱AB、BC中點，EF與BD相交于G．
（Ⅰ）求異面直線D₁E和DC所成的角；
（Ⅱ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅲ）求點D₁到平面B₁EF的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在正四棱柱中，異面直線D₁E和DC所成的角，即D₁E和AB所成的角，然后通過解直角三角形求解；
（Ⅱ）證平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只需證明EF垂直于平面BDD₁B₁，由正四棱柱的性質(zhì)即可證明；
（Ⅲ）求點D₁到平面B₁EF的距離，根據(jù)（Ⅱ）中證出的平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只要過D₁作交線B₁G的垂線就得到點到面的距離，然后通過借直角三角形求解．

解答：證明（Ⅰ）連結AD₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD．
∴平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD₁A₁．
∴AB⊥AD₁．
由已知AD=2

2

，DD₁=4，
∴AD₁=

AD2+DD12

=

(2 2 )2+42

=2

6

．
而AE=

2

，
∴tan∠ADE₁=

AD1

AE

=

2 6

2

=2

3

．
∵CD∥AB．
∴DC與D₁E所成的角就是AB與D₁E所成的角，即∠D₁EA．
∴直線DC與D₁E所成的角為arctan2

3

；
（Ⅱ） 連結AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
D₁C交C₁ D于E，連AE．
∴EF⊥BD．
又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁．
∵EE?平面EFB₁．
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅲ）連接B₁G，作D₁H⊥B₁G，H為垂足．
由于平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，B₁G為交線，
∴D₁H⊥平面 B₁EF．D₁H的長是點D₁到平面B₁EF的距離．
在Rt△D₁B₁H中，D₁H=D₁B₁•sina∠D₁B₁H．
∵D₁B₁=

2

A₁B₁=

2

•2

2

=4，sin∠D₁B₁H=sina∠B₁GB=

4

17

，
∴D₁H=

16

17

=

16 17

17

．
∴點D₁到平面B₁EF的距離為

16 17

17

．

點評：本題考查了異面直線所成的角，考查了面與面的垂直，考查了點到面距離的求法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．