Question

15、如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分別是PC和AB上的點且PE：EC=AF：FB=3：2．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）設EF與PA、BC所成的角分別為α、β，求證：α+β=90°．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點，證明BC與面ADP垂直即可，由線面垂直推線線垂直即可；
（2）在AC上取點G，使AG：GC=3：2，連接EG、FG，則EG∥PA，FG∥BC，從而∠EGF為PA與BC所成的角，再根據第一問的結論就可求得．

解答：證明：如圖
（1）取BC的中點D，連接AD、PD．
則BC⊥平面ADP，AP?平面ADP，
∴AP⊥BC．
（2）在AC上取點G，使AG：GC=3：2，連接EG、FG，則EG∥PA，FG∥BC，從而∠EGF為PA與BC所成的角，由（1）知∠EGF=90°，而∠GEF、∠GFE分別是EF與PA、EF與BC所成的角α、β，
∴α+β=90°．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．