Question

已知數列{a_n}的每一項都是正數，滿足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差數列{b_n}的前n項和為T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）比較與2的大小；
（3）若＜c恒成立，求整數c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，進而求得a_n+1=2a_n，數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，進而根據等比數列通項公式求得a_n，根據b₂=3，T₅=25．求得等差數列的首項和公差進而求得b_n．
（2）由（1）得T_n，進而求得，先看當n=1時＜2，進而利用＜=-利用裂項法求和，進而求得++…+＜2-＜2．
（3）令P_n=++…+=+++…+．把（1）中求得的a_n和b_n代入P_n，利用錯位相減法求得P_n，進而判斷P_n遞增，求得P_n的范圍，進而求得c的最小值．
解答：解：（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于數列{a_n}的每一項都是正數，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
設b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴=，
當n=1時，=1＜2．
當n≥2時，＜=-．
∴++…+＜1+-+-++-=2-＜2．
（3）記P_n=++…+=+++…+．
∴P_n=++++，
兩式相減得P_n=3-．
∵P_n遞增，∴≤P_n＜3，P₄=＞2，
∴最小的整數c=3．
點評：本題主要考查了等差數列的性質和數列的求和問題．對于一些常用的數列的求和方法如公式法、錯位相減法、疊加法、裂項法等應熟練掌握．