Question

已知數列{a_n}的每一項都是非負實數，且對任意m，n∈N^*有a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1．
又知a₂=0，a₃＞0，a₉₉=33．則a₃=

 

，a₁₀=

 

．

Answer 1

分析：本題的題意不是求通項公式，a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1這類遞推式子較少見到，理解不到位很容易出現偏差，本題應當求出a₁的值，再利用a₃=a₁+a₂求出a₃，對a₁₀的求解需要確定范圍，才能進一步求出．

解答：解：（1）由已知：a₂=a₁+a₁=0或a₂=a₁+a₁+1=0，所以2a₁=0或2a₁=0-1=-1，又因為a_n≥0，所以a₁=0；
所以a₃=a₁+a₂=0或a₃=a₁+a₂+1=1，由已知a₃＞0，所以a₃=1
（2）由（1）及已知a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1，a₁=a₂=0，a₃=1可知對任意n∈N^*，a_n∈Z，a_m+n=a_m+a_n或a_m+n=a_m+a_n+1，反復利用上式可得33=a₉₉≥a₈₉+a₁₀≥a₇₉+2a₁₀≥…≥9a₁₀+3a₃=9a₁₀+3，所以a10≤

30

9

，同理可得33=a₉₉≤9a₁₀+3a₃+11
所以a10≥

19

9

，即有

19

9

≤a10≤

30

9

，又因為a_n∈Z，所以a₁₀=3．

點評：這是一道稍有難度的遞推數列題目，難在打破常規，并非是由遞推公式求通項公式，而是求某一項或某幾項的值，這樣對問題的分析思路有所變化，處理上有一定的技巧因此增加了難度；又有分類討論思想，函數，不等式左右夾逼思想的應用，因此綜合性較強．