Question

已知函數=x⁴-4x³+ax²-1在區間［0，1］上單調遞增，在區間［1，2］上單調遞減.

（1）求實數a的值；

（2）設=bx²-1，若關于x的方程=的解集恰有3個元素，求實數b的取值范圍.

Answer 1

解：（1）∵=4x³-12x+2ax

∴在［0，1］上是增函數，在［1，2］上是減函數，

∴=0得a=4.

=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2）

當x∈［0，1］時，≥0，而在此區間上為增函數，

當x∈［1，2］時，≤0，而在此區間上為減函數，

即a=4符合題目要求.

（2）由=，得x²（x²-4x+4-b）=0有3個相異的實根，

故x²-4x+4-b=0有兩個相異的非零根.

∴Δ=16-4（4-b）＞0且4-b≠0，

得0＜b＜4或b＞4.