Question

某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²．記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y（元）．
（Ⅰ）寫出y與x的函數關系式；
（Ⅱ）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大．

Answer 1

分析：（I）由題易知每件產品的銷售價為20（1+x），則月平均銷售量為a（1-x²）件，利潤則是二者的積去掉成本即可．
（II）由（1）可知，利潤函數是一元三次函數關系，可以對其求導解出其最值．

解答：解：（I）改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為a（1-x²）件，
則月平均利潤y=a（1-x²）•[20（1+x）-15]，
∴y與x的函數關系式為y=5a（1+4x-x²-4x³）．
故函數關系式為：y=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）
（II）由y'=5a（4-2x-12x²）=0得x=

1

2

或x=-

2

3

（舍）
當0＜x＜

1

2

時 y'＞0；

1

2

＜x＜1時 y'＜0，
∴函數y=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）在x=

1

2

取得最大值
故改進工藝后，產品的銷售價為20(1+

1

2

)=30元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大

點評：利潤最值問題是高中數學應用的重點考查內容，要知道利潤=收入-成本．并且，一元三次函數求最值，通常對其求導解出其最值