Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）若函數的圖象與軸有且僅有一個交點，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，對任意的，均有成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】分析：（1）求出導函數，可求出，切線方程為，化簡后即可；

（2）題意說明方程只有一解，分離變量后為，由導數研究函數的單調性，得最大值，同時研究的函數值的變化趨勢，可得結論；

（3）令，求出導數后可得的兩解，分類討論求得在上的最小值，由這個最小值可求得的范圍．

詳解：（1）時，，，

，，

所以切線方程為，即.

（2）令 ，

令 ，

易知在上為正，遞增；在上為負，遞減，

，又∵時，；時，，

所以結合圖象可得.

（3）因為，所以，

令 ，

由或.

（i）當時，（舍去），所以，

有時，；時， 恒成立，

得，所以；

（ii）當時，，

則時，；時，，時，，

所以，則，

綜上所述，.