Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質P．
（Ⅰ）當n=10時，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性質P？并說明理由．
（Ⅱ）若n=1000時
①若集合S具有性質P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性質P？并說明理由；
②若集合S具有性質P，求集合S中元素個數的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）當n=10時，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質P．（1分）
因為對任意不大于10的正整數m，
都可以找到該集合中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質P．（3分）
因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．（4分）
（Ⅱ）當n=1000時，則A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性質P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質P．（5分）
首先因為T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為S⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性質P，可知存在不大于1000的正整數m，
使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
對于上述正整數m，
從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質P．（8分）
②設集合S有k個元素．由第①問知，若集合S具有性質P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質P．
任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001-x中必有一個不超過1000，
所以集合S與T中必有一個集合中至少存在一半元素不超過1000，
不妨設S中有t(t≥

k

2

)個元素b₁，b₂，…，b_t不超過1000．
由集合S具有性質P，可知存在正整數m≤1000，
使得對S中任意兩個元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S．
又b_i+m≤1000+1000=2000，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t個元素不在子集S中，
因此k+

k

2

≤k+t≤2000，所以k+

k

2

≤2000，得k≤1333，
當S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}時，
取m=667，則易知對集合S中任意兩個元素y₁，y₂，
都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性質P，
而此時集合S中有1333個元素．
因此集合S元素個數的最大值是1333．（14分）