Question

已知函數f（1+x）=f（1-x），當1＜x₁＜x₂時，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，設a=f（-

1

2

），b=f（2），c=f（3），則a，b，c的大小關系為（　　）

A．b＜a＜c

B．c＜b＜a

C．b＜c＜a

D．a＜b＜c

Answer 1

分析：根據條件求出函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，然后根據函數f（x+1）是偶函數，利用單調性即可判定出a、b、c的大小．

解答：解：∵當1＜x₁＜x₂時，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，
∴當1＜x₁＜x₂時，f （x₂）-f （x₁）＞0，
即f （x₂）＞f （x₁），
∴函數f（x）在（1，+∞）上為單調增函數，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數f（x）關于x=1對稱，
∴a=f（-

1

2

）=f（

5

2

），
又函數f（x）在（1，+∞）上為單調增函數，
∴f（2）＜f（

5

2

）＜f（3），
即f（2）＜f（-

1

2

）=＜f（3），
∴a，b，c的大小關系為b＜a＜c．
故選：A．

點評：本題考查了函數性質的應用，主要考查了函數單調性的判斷以及運用單調性比較函數值的大小，同時考查了函數的對稱性的應用，是函數性質的一個綜合考查．屬于基礎題．