Question

已知函數f（1+x）是定義域為R的偶函數，f(2)=

1

2

，f′（x）是f（x）的導函數，若?x∈R，f′（x）＜e^x，則不等式f(x)＜ex-

1

2

（e=2.718…）的解集為

 

．

Answer 1

分析：先根據f（1+x）是定義域為R的偶函數求出函數f（x）的對稱軸，進而得到f（0）的值，再由f′（x）＜e^x可判斷函數g（x）=f（x）-e^x的單調性，將f(x)＜ex-

1

2

轉化為f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0），最后根據函數的單調性得到答案．

解答：解：∵函數f（1+x）是定義域為R的偶函數，∴函數f（x）的對稱軸為x=1
∵f(2)=

1

2

，∴f（0）=

1

2

∵f′（x）＜e^x∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0
令函數g（x）=f（x）-e^x，則函數g（x）在R上單調遞減
且g（0）=f（0）-e⁰=

1

2

-1=-

1

2

∵f(x)＜ex-

1

2

∴g（x）=f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0）
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）

點評：本題主要考查函數的對稱性、根據導數判斷函數的單調性、根據函數單調性解不等式．