Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面為α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分別是AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（1）求證平面PMN⊥平面PAD；
（2）求PM與平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明平面PMN⊥平面PAD，我們只要證明一個平面經過另一個平面的垂線即可，分析圖中已知直線易得，MN⊥平面PAD滿足要求，故我們可以先MN⊥平面PAD，然后根據面面垂直的判定定理，即可求解．
（2）要求PM與平面PCD所成角的正弦值，關鍵是要找到PM在平面PCD上的射影，由MN∥CD，我們根據（1）的結論，易得CD⊥平面PAD，進而得到平面PCD⊥平面PAD，則過M做PD的垂線，則垂足Q，即為M點在平面PCD上的射影，PQ即為PM在平面PCD上的射影，解三角形PMQ，即可得到答案．

解答：解：（1）正方體ABCD中，
∵M、N分別是AD、BC的中點，
∴MN⊥AD
又∵PA⊥平面α，MN?α，
∴PA⊥MN，
∴MN⊥平面PAD
又MN?平面PAD，平面PMN⊥平面PAD…（5分）
（2）由上可知：MN⊥平面PAD，則CD⊥平面PAD
∴MQ⊥CD，又因為MQ⊥PD，MQ⊥面PCD
∠MPQ是PM與平面PCD所成的角．…（8分）
PA=2，AD=2，則AM=1，PM=

5

PD=2

2

，MQ=

MD•PA

PD

=

2

2

sin∠MpQ=

MQ

PM

=

10

10

…（12分）

點評：本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，考查線面角．求直線和平面所成的角時，應注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關系．（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設定--論證所作或找到的角為所求的角；③計算--常用解三角形的方法求角；④結論--點明斜線和平面所成的角的值．