Question

如圖一邊長為30cm的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起來做成一個無蓋的長方體盒子，小盒子的容積V（單位：cm³）是關于截去的小正方形的邊長x（單位：cm）的函數．寫出V關于x的函數式，x為多少時小盒子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

解：設小正方形邊長為x，鐵盒體積為V．
V=（30-2x）²•x=4x³-120x²+900x．
V′=12x²-240x+900=12（x-5）（x-15）．
∵30-2x＞0，
∴0＜x＜15．
∴x=5時，V_max=2100．
x為8時小盒子的容積最大，最大容積是2100cm³．
分析：據題意先設小正方形邊長為x，計算出鐵盒體積的函數解析式，再利用導數研究此函數的單調性，進而求得此函數的最大值即可．
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．