Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點F引直線l：y=

b

a

x的垂線FM，垂足為M，l交橢圓于P、Q兩點，若

PM

=3

MQ

，則該橢圓的離心率為

2-

2

．

Answer 1

分析：根據直線的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=

ac

a2+b2

．由

PM

=3

MQ

得M是OQ的中點，可得|OQ|=2|OM|=

2ac

a2+b2

．由線段垂直平分線定理，得|QF₂|=|OF₂|=c，結合橢圓的定義得|QF₁|=2a-|QF₂|=2a-c，最后在△QF₁F₂中利用中線的性質，建立關于a、b、c的等式，化簡整理得到離心率e的方程，解之即可得到所求離心率．

解答：解：∵直線l的斜率k=

b

a

Rt△OMF₂中，tan∠MOF₂=

|MF2|

|OM|

=

b

a

結合|OF₂|=c，可得|OM|=

ac

a2+b2

∵

PM

=3

MQ

，
∴M是OQ的中點，可得|OQ|=2|OM|=

2ac

a2+b2

∵MF₂是OQ的垂直平分線，∴|QF₂|=|OF₂|=c
連結QF₁，由橢圓的定義可得|QF₁|=2a-|QF₂|=2a-c
∵OQ是△QF₁F₂的中線
∴4|OQ|²+|F₁F₂|²=2（|QF₁|²+|QF₂|²）
即4×

4a2c2

a2+b2

+4c²=2[（2a-c）²+c²]，
化簡整理得e³-3e²-2e+2=0，即（e²-4e+2）（e+1）=0
∵e+1＞0，∴e²-4e+2=0，解之得e=2±

2

∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴e=2-

2

故答案為：2-

2

點評：本題給出橢圓滿足的向量式，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與幾何性質、向量的運算和解三角形等知識，屬于中檔題．