Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的邊長是2，D是CC₁的中點，直線AD與側面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）由幾何體的結構特征與題中條件求出側棱的長度，進而建立坐標系分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關運算求出二面角的平面角．
（2）由（1）得平面ABD的法向量

n

，再求出平面的一條斜線所在的向量

CA

，求出

CA

在法向量上的射影即可得到答案．

解答：解：（1）取BC的中點為O，連接OD，由正三棱柱的結構特征得OA⊥平面BCC₁B₁，且OA=

3

．
所以∠ADO是直線AD與側面BB₁C₁C所成的角，即∠ADO=45°．
所以OD=

3

．
所以側棱的長為2

2

．
如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，

3

)，B（-1，0，0），C（1，0，0），D(1，

2

，0)
設

n

=(x，y，z)是平面ABD的一個法向量，
則由

n • AB =0 n • AD =0

得

n

=(

3

，-

6

，-1)
而

EA

=(0，0，

3

)是面BCD的一個法向量
∴cos＜

EA

•

n

＞=

EA • n

| EA |•| n |

=-

10

10

．
而所求二面角為銳角，即二面角A-BD-C的大小為arccos

10

10

（2）∵

CA

=(-1，0，

3

)
∴點C到面ABD的距離為d=

| CA • n |

| n |

=

30

5

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，建立適當的空間直角坐標系進而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問題．